8x+2y=46,7x+3y=47

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

8x+2y=46

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

8x=-2y+46

Odčítajte hodnotu 2y od oboch strán rovnice.

x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}

Vynásobte číslo \frac{1}{8} číslom -2y+46.

7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47

Dosaďte \frac{-y+23}{4} za x v druhej rovnici 7x+3y=47.

-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47

Vynásobte číslo 7 číslom \frac{-y+23}{4}.

\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47

Prirátajte -\frac{7y}{4} ku 3y.

\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}

Odčítajte hodnotu \frac{161}{4} od oboch strán rovnice.

y=\frac{27}{5}

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{5}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} dosaďte y za premennú \frac{27}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}

Vynásobte zlomok -\frac{1}{4} zlomkom \frac{27}{5} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

x=\frac{22}{5}

Prirátajte \frac{23}{4} ku -\frac{27}{20} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}

Systém je vyriešený.

8x+2y=46,7x+3y=47

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)

Napíšte rovnice v tvare matíc.

inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)

Počítajte.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)

Vynásobte matice.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)

Počítajte.

x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}

Extrahujte prvky matice x a y.

8x+2y=46,7x+3y=47

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47

Ak chcete, aby boli členy 8x a 7x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 7 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 8.

56x+14y=322,56x+24y=376

Zjednodušte.

56x-56x+14y-24y=322-376

Odčítajte rovnicu 56x+24y=376 od rovnice 56x+14y=322 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

14y-24y=322-376

Prirátajte 56x ku -56x. Členy 56x a -56x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

-10y=322-376

Prirátajte 14y ku -24y.

-10y=-54

Prirátajte 322 ku -376.

y=\frac{27}{5}

Vydeľte obe strany hodnotou -10.

7x+3\times \frac{27}{5}=47

V rovnici 7x+3y=47 dosaďte y za premennú \frac{27}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

7x+\frac{81}{5}=47

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{27}{5}.

7x=\frac{154}{5}

Odčítajte hodnotu \frac{81}{5} od oboch strán rovnice.

x=\frac{22}{5}

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}

Systém je vyriešený.